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Math173 | 最光阴-兰琦的数学之旅

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        M a t h 1 7 3 | 最 光 阴 兰 琦 的 数 学 之 旅 M a t h 1 7 3 最 光 阴 兰 琦 的 数 学 之 旅 跳 至 正 文 首 页 每 日 一 题 解 题 展 示 方 法 技 巧 练 习 题 集 平 面 几 何 趣 味 数 学 自 招 竞 赛 错 在 哪 里 问 题 征 解 ← 早 期 文 章 每 日 一 题 [ 3 6 7 7 ] 逐 步 递 进 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 8 日 由 意 琦 行 2 0 2 5 年 北 京 市 朝 阳 区 高 三 期 末 数 学 试 卷 # 2 1 已 知 无 穷 数 列 $ \ \ l e f t \ \ \ \ r i g h t \ \ } $ ， 给 定 正 整 数 $ m $ ， 若 数 列 $ \ \ l e f t \ \ \ \ r i g h t \ \ } $ 满 足 以 下 两 个 性 质 ， 则 称 $ \ \ l e f t \ \ \ \ r i g h t \ \ } $ 为 $ P _ $ 数 列 ： ① $ a _ \ \ i n \ \ m a t h b b ^ $ ； ② $ a _ = \ \ b e g i n a _ ^ + 2 ^ , & a _ 1 、 已 知 $ \ \ l e f t \ \ \ \ r i g h t \ \ } $ 和 $ \ \ l e f t \ \ \ \ r i g h t \ \ } $ 分 别 为 $ P _ $ 数 列 和 $ P _ $ 数 列 ， 且 $ a _ = 8 $ ， $ b _ = 1 0 $ ， 求 $ a _ $ 和 $ b _ $ ； 2 、 已 知 正 整 数 数 列 $ \ \ l e f t \ \ \ \ r i g h t \ \ } $ 是 $ P _ $ 数 列 ． ① 无 穷 数 列 $ \ \ l e f t \ \ \ \ r i g h t \ \ } $ 满 足 $ c _ = \ \ d f r a c } } } $ 且 $ c _ $ 为 奇 数 ， 其 中 $ d _ \ \ i n \ \ m a t h b b $ ， 证 明 ： 对 于 任 意 的 $ n \ \ i n \ \ m a t h b b ^ $ ， $ c _ ② 求 满 足 条 件 的 $ m $ ， 并 写 出 与 $ m $ 对 应 的 $ a _ $ 所 有 可 能 取 值 ． 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 组 合 证 明 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 7 6 ] A 字 模 型 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 7 日 由 意 琦 行 2 0 2 5 年 北 京 市 朝 阳 区 高 三 期 末 数 学 试 卷 # 2 0 已 知 椭 圆 $ E : \ \ d f r a c } } + \ \ d f r a c } } = 1 $ （ $ a > b > 0 $ ） 的 离 心 率 为 $ \ \ d f r a c } $ ， 右 顶 点 为 $ ( 2 , 0 ) $ ． 求 1 、 椭 圆 $ E $ 的 方 程 ； 2 、 过 原 点 $ O $ 且 与 $ y $ 轴 不 重 合 的 直 线 $ l $ 与 椭 圆 $ E $ 交 于 $ M , N $ 两 点 ． 已 知 点 $ P ( 0 , 2 ) $ ， 直 线 $ P M , P N $ 与 椭 圆 $ E $ 的 另 一 个 交 点 分 别 为 $ A , B $ ． 证 明 ： 直 线 $ A B $ 过 定 点 ． 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 解 析 几 何 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 7 5 ] 换 底 公 式 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 6 日 由 意 琦 行 2 0 2 5 年 北 京 市 朝 阳 区 高 三 期 末 数 学 试 卷 # 1 4 已 知 $ O $ 为 $ \ \ t r i a n g l e A B C $ 所 在 平 面 内 一 点 ， 满 足 $ \ \ o v e r r i g h t a r r o w + \ \ o v e r r i g h t a r r o w + \ \ o v e r r i g h t a r r o w = \ \ o v e r r i g h t a r r o w $ ， 且 $ | \ \ o v e r r i g h t a r r o w | = 2 $ ， $ | \ \ o v e r r i g h t a r r o w | = 3 $ ， $ | \ \ o v e r r i g h t a r r o w | = 4 $ ， 设 $ \ \ t h e t a $ 为 向 量 $ \ \ o v e r r i g h t a r r o w , \ \ o v e r r i g h t a r r o w $ 的 夹 角 ， 则 $ \ \ c o s \ \ t h e t a = $ _ _ _ _ _ ； $ \ \ o v e r r i g h t a r r o w \ \ c d o t \ \ o v e r r i g h t a r r o w + \ \ o v e r r i g h t a r r o w \ \ c d o t \ \ o v e r r i g h t a r r o w = $ _ _ _ _ _ ． 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 向 量 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 7 4 ] 间 隔 递 减 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 5 日 由 意 琦 行 2 0 2 5 年 北 京 市 朝 阳 区 高 三 期 末 数 学 试 卷 # 1 0 设 $ \ \ l e f t \ \ \ \ r i g h t \ \ } $ 是 无 穷 数 列 ， 若 存 在 正 整 数 $ k $ 使 得 对 任 意 $ n \ \ i n \ \ m a t h b b ^ $ ， 均 有 $ a _ A ． 若 $ a _ = \ \ d f r a c $ ， 则 $ \ \ l e f t \ \ \ \ r i g h t \ \ } $ 是 间 隔 递 减 数 列 B ． 若 $ a _ = n \ \ c d o t ( 2 ) ^ $ ， 则 $ \ \ l e f t \ \ \ \ r i g h t \ \ } $ 是 间 隔 递 减 数 列 C ． 若 $ a _ = \ \ d f r a c + \ \ s i n n $ ， 则 $ \ \ l e f t \ \ \ \ r i g h t \ \ } $ 是 间 隔 递 减 数 列 且 $ \ \ l e f t \ \ \ \ r i g h t \ \ } $ 的 间 隔 数 的 最 小 值 是 $ 4 $ D ． 以 上 结 论 均 不 正 确 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 数 列 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 7 3 ] 见 贤 思 齐 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 4 日 由 意 琦 行 2 0 2 5 年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 # 2 1 已 知 函 数 $ y = f ( x ) $ 的 定 义 域 是 $ D $ ． 对 于 $ t \ \ i n D $ ， 定 义 集 合 $ S _ = \ \ $ ． 1 、 $ f ( x ) = \ \ l o g _ 2 x $ ， 求 $ S _ $ ； 2 、 对 于 集 合 $ A $ ， 若 对 任 意 $ x \ \ i n A $ 都 有 $ x \ \ i n A $ ， 则 称 $ A $ 是 对 称 集 ． 若 $ D $ 是 对 称 集 ， 证 明 ： 函 数 $ y = f ( x ) $ 是 偶 函 数 的 充 要 条 件 是 对 任 意 $ t \ \ i n D $ ， $ S _ $ 是 对 称 集 ； 3 、 已 知 $ m $ 是 实 数 ， 若 $ f ( x ) = \ \ m a t h r m ^ x \ \ d f r a c m x ^ 2 $ （ $ x \ \ i n \ \ m a t h b b $ ） 满 足 对 于 任 意 $ t _ 1 , t _ 2 \ \ i n D $ 且 $ t _ 1 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 函 数 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 7 2 ] 极 坐 标 表 达 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 3 日 由 意 琦 行 2 0 2 5 年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 # 2 0 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 曲 线 $ \ \ G a m m a : \ \ d f r a c + y ^ 2 = 1 $ （ $ y \ \ g e q s l a n t 0 $ ） ， 点 $ P , Q $ 分 别 为 $ \ \ G a m m a $ 上 不 同 的 两 点 ， $ T ( t , 0 ) $ ． 1 、 求 $ \ \ G a m m a $ 所 在 椭 圆 的 离 心 率 ； 2 、 若 $ T ( 1 , 0 ) $ ， $ Q $ 在 $ y $ 轴 上 ， 若 $ T $ 到 直 线 $ P Q $ 的 距 离 为 $ \ \ d f r a c } $ ， 求 $ P $ 的 坐 标 ； 3 、 是 否 存 在 $ t $ ， 使 得 $ \ \ t r i a n g l e T P Q $ 是 以 $ T $ 为 直 角 顶 点 的 等 腰 直 角 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 求 $ t $ 的 取 值 范 围 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ． 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 解 析 几 何 | 一 条 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 7 1 ] 抽 象 具 象 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 2 日 由 意 琦 行 2 0 2 4 年 1 2 月 广 东 省 广 州 市 高 三 调 研 数 学 试 卷 # 8 已 知 函 数 $ f ( x ) $ 的 定 义 域 为 $ \ \ m a t h b b $ ， 且 $ f ( x + y ) + f ( x y ) = \ \ d f r a c f ( x ) f ( y ) $ ， $ f ( 1 ) = 2 $ ， 则 $ \ \ d i s p l a y s t y l e \ \ s u m \ \ l i m i t s _ ^ f ( k ) = $ （         ）   A ． $ 4 $ B ． $ 4 $ C ． $ 0 $ D ． $ 2 $ 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 递 推 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 7 0 ] 选 定 参 数 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 1 日 由 意 琦 行 已 知 $ a \ \ i n \ \ m a t h b b R $ ， 函 数 $ f ( x ) = | x ^ 2 1 | x ^ 2 + a x $ ． 1 、 若 $ f ( x ) $ 是 偶 函 数 ， 求 实 数 $ a $ 的 值 ； 2 、 若 函 数 $ f ( x ) $ 的 图 象 与 直 线 $ y = 2 x $ 在 第 一 象 限 有 $ 2 $ 个 公 共 点 ， 公 共 点 横 坐 标 分 别 为 $ x _ 1 , x _ 2 $ （ $ x _ 1 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 函 数 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 6 9 ] 知 易 行 难 发 表 于 2 0 2 5 年 1 月 3 1 日 由 意 琦 行 用 $ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 $ 五 个 数 字 组 成 $ 1 $ 个 三 位 数 和 $ 1 $ 个 两 位 数 ， 每 个 数 字 各 用 $ 1 $ 次 ， 它 们 的 乘 积 的 最 大 值 是 _ _ _ _ _ ， 最 小 值 是 _ _ _ _ _ ． 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 组 合 极 值 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 6 8 ] 分 解 分 离 发 表 于 2 0 2 5 年 1 月 3 0 日 由 意 琦 行 设 $ a , b , c > 0 $ ， $ a + b + c = a b c $ ． 求 证 ： $ \ \ d i s p l a y s t y l e \ \ s u m _ \ \ d f r a c 1 } \ \ l e q s l a n t \ \ d f r a c 3 2 $ ． 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 代 数 不 等 式 , 代 数 变 形 | 留 下 评 论 ← 早 期 文 章 2 0 2 5 年 2 月 一 二 三 四 五 六 日   1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8   « 1 月     搜 索 ： 标 签 三 角 三 角 函 数 不 等 式 二 次 函 数 代 数 不 等 式 代 数 变 形 代 数 式 最 值 几 何 函 数 函 数 方 程 创 新 大 题 创 新 小 题 参 数 方 程 双 曲 线 向 量 圆 锥 曲 线 复 数 导 数 平 面 几 何 平 面 几 何 计 算 平 面 向 量 抛 物 线 数 列 数 列 不 等 式 数 列 与 不 等 式 数 形 结 合 数 论 椭 圆 概 率 直 线 与 圆 空 间 向 量 立 体 几 何 级 数 组 合 数 学 组 合 极 值 组 合 计 数 组 合 证 明 规 划 解 三 角 形 解 析 几 何 计 数 论 证 与 构 造 递 推 集 合 高 斯 函 数 近 期 文 章 每 日 一 题 [ 3 6 7 7 ] 逐 步 递 进 每 日 一 题 [ 3 6 7 6 ] A 字 模 型 每 日 一 题 [ 3 6 7 5 ] 换 底 公 式 每 日 一 题 [ 3 6 7 4 ] 间 隔 递 减 每 日 一 题 [ 3 6 7 3 ] 见 贤 思 齐 2 0 2 5 年 2 月 一 二 三 四 五 六 日   1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8   « 1 月     搜 索 ： 标 签 三 角 三 角 函 数 不 等 式 二 次 函 数 代 数 不 等 式 代 数 变 形 代 数 式 最 值 几 何 函 数 函 数 方 程 创 新 大 题 创 新 小 题 参 数 方 程 双 曲 线 向 量 圆 锥 曲 线 复 数 导 数 平 面 几 何 平 面 几 何 计 算 平 面 向 量 抛 物 线 数 列 数 列 不 等 式 数 列 与 不 等 式 数 形 结 合 数 论 椭 圆 概 率 直 线 与 圆 空 间 向 量 立 体 几 何 级 数 组 合 数 学 组 合 极 值 组 合 计 数 组 合 证 明 规 划 解 三 角 形 解 析 几 何 计 数 论 证 与 构 造 递 推 集 合 高 斯 函 数 近 期 文 章 每 日 一 题 [ 3 6 7 7 ] 逐 步 递 进 每 日 一 题 [ 3 6 7 6 ] A 字 模 型 每 日 一 题 [ 3 6 7 5 ] 换 底 公 式 每 日 一 题 [ 3 6 7 4 ] 间 隔 递 减 每 日 一 题 [ 3 6 7 3 ] 见 贤 思 齐 近 期 评 论 弃 天 帝 发 表 在 《 每 日 一 题 [ 3 6 7 2 ] 极 坐 标 表 达 》 弃 天 帝 发 表 在 《 题 拍 拍 征 解 题 [ 4 5 ] 》 弃 天 帝 发 表 在 《 每 日 一 题 [ 1 1 3 9 ] 各 个 击 破 》 意 琦 行 发 表 在 《 每 日 一 题 [ 3 6 4 3 ] 旋 转 二 面 角 》 意 琦 行 发 表 在 《 每 日 一 题 [ 3 6 4 8 ] 交 错 前 进 》 其 他 操 作 注 册 登 录 条 目 f e e d 评 论 f e e d W o r d P r e s s . o r g 京 I C P 备 1 4 0 5 1 3 1 3 号 1 M a t h 1 7 3 京 I C P 备 1 4 0 5 1 3 1 3 号 1 自 豪 地 采 用 W o r d P r e s s 。